Text ke stažení

Úvod

VZDĚLÁVÁNÍ PROŠLO MNOHOSETLETÝM VÝVOJEM, KTERÝ BYL RUKU V RUCE ODRAZEM DANÉ DOBY. STEJNĚ TAK JAKO NAŠE CIVILIZACE I VZDĚLÁVÁNÍ PROŠLO BOUŘLIVÝMI ZMĚNAMI A MYŠLENKY, KTERÉ STÁLY V POZADÍ TĚCHTO ZMĚN, BYLY ČASTO SVÝM OSTRÝM PROTIPÓLEM, PŘESTO VŠAK MĚLY SVÉ LOGICKÉ OPODSTATNĚNÍ A HLUBŠÍ SMYSL. VZDĚLÁVÁNÍ, VÝCHOVA A S NIMI ÚZCE PROPOJENÉ POSTAVENÍ DÍTĚTE VE SPOLEČNOSTI BYLY VŽDY ZRCADLEM DANÉ DOBY A ODRÁŽELY CELISTVĚ SOUDOBÉ POTŘEBY - OD TĚCH KAŽDODENNÍCH PO DLOUHODOBÉ POLITICKÉ ZÁMĚRY...

Jednotlivá období měla vliv na to, co bychom dnes nazvali kurikulem. Zatímco pro některá období bylo příznačnější především humanitní vzdělání, průmyslová revoluce zase přinesla rozkvět přírodovědně orientovaným předmětům. A aniž bychom si to často uvědomovali, oborové didaktiky jsou i dnes ovlivňovány pedagogickými směry druhé poloviny 20. století, které stále mohou inspirovat tak jako Deweyova progresívní výchova přinášející především problémovou metodu a projektové vyučování, pedagogický systém Marie Montessoriové s jejími didaktickými pomůckami či Steinerova Waldorfská pedagogika podporující individuální nadání a tvořivý duchovní život aj. Tyto i jiné směry se svými metodami, často uplatňovanými ve své krystalické podobě, staly zdrojem mnohých inspirací pro práci obecných i oborových didaktiků a zároveň reflektovaly aktuální potřeby a stav společnosti.

Jednotlivá období i jednotlivé pedagogické směry mají jednu otázku společnou, a to otázku, co je pro dítě a společnost důležité, co má výchova vlastně podporovat. Právě tato otázka zároveň naznačuje, že výchova ani škola nemůže zůstat jakýmsi neměnným organismem, naopak musí odrážet svou dobu a její potřeby. Mnohost potřeb se pak odráží na mnohosti soudobých teorií vzdělávání, jako jsou personalistické, kognitivně psychologické, technologické, sociokognitivní, sociální, akademické či spiritualistické teorie. Tato práce bude částečně odrážet kombinaci dvou z těchto teorií, a to kognitivně psychologickou a technologickou. Právě k poslední ze jmenovaných se váží i slova Yvese Bertranda (Bertrand, 1998, s. 11-22).

"Technologický rozvoj dvacátého století poznamenal stejně jako sociální instituce i školy. Tento vliv byl zřetelný ve dvou rovinách - jednak v rovině zavádění konkrétních technologických prostředků, jednak v rovině utopických projektů, které se zrodily z nadšení nad velkým potenciálem změn (Bertrand, 1998, s. 89)."

Právě utopické projekty a představy jsou příznačným a doprovodným jevem pro všechny nové směry, a to i užití technologií, které jsou dnes již nedílnou součástí naší doby. Tyto projekty a představy přinášejí však nejen postupné zklamání z toho, že utopie není možná, ale v tomto produktivním období vznikne i mnoho zajímavých nápadů a výzkumů. Takové utopické představy doprovázely i úvahy o možnostech využití počítačově kognitivních technologií ve výuce matematiky. "V druhé polovině 80. let byla vyvinuta a začala se užívat na školách první prostředí interaktivní geometrie, např. Cabri, Sketchpad či Supposer (Vaníček, 2009, s. 7)." Jejich největším přínosem byla dynamičnost, která do té doby nebyla možná. "Interaktivní geometrie dovoluje hlubší a komplexnější zkoumání pojmů než klasický přístup: student může změnou nepodstatných parametrů v hotové figuře rozpoznat invariantní vlastnosti zkoumaného pojmu a zpřesnit svůj mentální model objektu, se kterým manipuluje (Vaníček, 2009, s. 9)." Počáteční euforii a nadšení z nalezení samospasného řešení však již pomalu začíná nahrazovat období, kdy si uvědomujeme, že tyto technologie samy o sobě nejsou nejlepší cestou k vyučování matematiky, geometrie, a snažíme se postupně a hlavně s hlubším rozmyslem hledat ty nejvhodnější možné aplikace.

Když se do České republiky dostal placený program dynamické geometrie Cabri, následovala řada seminářů a kurzů. K největšímu rozšiřování došlo v letech 2003 - 2006, kdy bylo za podpory portálu www.pf.jcu.cz realizováno garantství modulu P-ICT ve výuce matematiky (P-MAT) v rámci programu Informační gramotnost SIPVZ MŠMT, které garantovala Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity [1]. Prostřednictvím tohoto grantu se do českých škol tak dostával placený dynamický software Cabri (v této době program zažíval natolik velký rozmach, že kupříkladu na Slovensko byla zakoupena licence pro všechny školy). Nadšenci z řad učitelů začali používat program pro podporu výuky geometrie. Logickým vyústěním byl i výzkum, který zjišťoval, zda lze nahradit běžnou výuku geometrie výukou s prostředím dynamické geometrie. Dynamická geometrie si pomalu, prostřednictvím vysokých škol s pedagogickým zaměřením a nadšených učitelů, začala získávat své místo v moderní škole a ve výuce planimetrie. Program Cabri byl pak zejména v poslední době z řady důvodů nahrazován volně stažitelným programem GeoGebra (nejčastěji z toho důvodu, že je zdarma, a tedy pro školy i lépe dostupný než Cabri).

"Přestože program GeoGebra získává v České republice na oblibě, často se s ním setkáváme především jako s programem podporujícím výuku planimetrie na základních a středních školách, kde nahrazuje jiné programy DGE . Potenciál GeoGebry je však výrazně větší, a to nejen díky možnosti využití na všech úrovních edukačního procesu, ale i možným využitím na široké škále oblastí výuky matematiky. Díky svým širokým programovým možnostem a jednoduchému uživatelskému prostředí se GeoGebra stává velmi mocným nástrojem, s jehož využitím můžeme žákům i studentům pomoci přemostit znalosti z geometrie, algebry a matematické analýzy a učinit z nich funkční celek. Propojování dílčích znalostí z matematiky do jednoho uceleného celku je jedním z cílů většiny učitelů na základních a středních školách. Nástrojem se mohou stávat geometrické interpretace jednoduchých i složitějších algebraických operací a jiné (Havelková, 2011)."

Cílem této práce není představení možností a potenciálu programu dynamické geometrie pouze ve výuce geometrie, ale jejím hlavním cílem je hledání potenciálu užití programu především ve výuce dalších partií matematiky na všech úrovních edukačního procesu a zároveň zkoumání očekávání od užití programu dynamické geometrie. Tento cíl je podpořen dvěma výzkumy provedenými na různých skupinách žáků a studentů.

Práce je rozdělena do sedmi kapitol.

V první kapitole si přiblížíme výukový software jako takový a rozdělíme ho podle typu zaměření. Blíže se seznámíme s výhodami, nevýhodami a riziky nasazení těchto programů ve výuce.

V kapitole druhé si obecně představíme program GeoGebra a jeho prostředí.

V třetí kapitole důkladněji nahlédneme do zahraničních výzkumů a článků, které se zabývají možnostmi využití programu DGE a programu GeoGebra ve výuce matematiky.

V kapitole čtvrté si představíme výzkum, který se zaměřuje na otázku zkušeností a očekávání žáků druhého stupně základní školy od programů dynamické geometrie.

V páté kapitole se podíváme na výzkum, který mimo jiné zjišťoval vliv použití programu GeoGebra na pochopení vybraného učiva lineární algebry u studentů učitelství.

Šestá kapitola obecně představuje možnosti využití programu GeoGebra ve výuce funkcí na příkladu využití programu při výuce předmětu Matematika pro chemiky.

Osmá kapitola představuje některé z mých osobních zkušeností s využitím programu GeoGebra na základní škole. Zároveň tak prezentuje rozmanité možnosti programu ve výuce matematiky i mimo ni.

Součástí práce je elektronická příloha na CD. Příloha obsahuje více než 50 appletů vytvořených v programu GeoGebra. Pokud není napsáno jinak, jsou všechny dynamické applety originální a tvoří významnou součást této práce.

1 Výukový software

1.1 Rozdělení programů

"Nástup mikropočítačů koncem sedmdesátých let přinesl zvrat do života škol, jejich učitelů a dětí (Černochová a další, 1998, s. 9)." Od té doby již uplynulo mnoho času a počítače si progresivně prorazily cestu nejen do odborných předmětů, ale do prostředí celé školy. Využity jsou jak ve všech možných předmětech, tak jako třídní knihy, nástroj pro tvorbu rozvrhů, evidencí a díky internetu i jako nástroj pro prezentaci školy. Školu si tak dnes již nedokážeme bez počítačů představit a bereme je jako jejich přirozenou součást (detailní pohled na využití počítačů ve vzdělávání poskytuje obr. 1).

Jako didaktickou pomůcku učitele můžeme programy rozdělit na:

Edukační software, což je jakékoliv programové vybavení počítače, jež je předurčeno pro využití v situacích, kdy dochází k rozvoji osobnosti jedince (např. textové editory, internetové prohlížeče). Tento typ softwaru však není primárně vytvářen za účelem vzdělávání, ačkoliv ho při vzdělávání použít můžeme.

Výukový software, což je jakékoliv programové vybavení počítače, jež je určeno k výukovým účelům a dokáže plnit alespoň některou z didaktických funkcí. Tento typ softwaru je záměrně vytvářen za účelem vzdělávání.

V této práci se budeme dále věnovat pouze výukovému softwaru.

Mezi kritéria, kterými je vhodné se při volbě těchto programů řídit, patří zejména

stanovené výukové cíle,

věk a úroveň psychického vývoje žáků,

schopnosti učitele integrovat program do výuky,

potřebné podmínky pro realizaci (tj. technické zázemí).

Determinujícími faktory pro učení jsou pak

cíle, které si žák klade nebo jež mu byly uloženy,

podmínky, za nichž učení probíhá,

charakteristika žáka,

charakteristika programu,

způsoby zkoušení a hodnocení naučeného.

Obr. 1 Využití počítače ve vzdělávání [2]

1.2 Výukové programy

Konkrétní typy výukových programů jsou zpravidla zaměřeny na některý z cílů Bloomovy taxonomie, a tak tyto cíle mohou odpovídat jednotlivým typům programů:

Aplikační

Aplikace jsou programy určené pro automatizace úkonů a konkrétní úkoly, jako jsou zpracování textu, tabulkových dat atd. Jejich cílem je získání znalostí a přehledu o obsahu či konkrétních procesech. Zároveň posilují strukturované myšlení a technické dovednosti. Konkrétními příklady jsou MS Word, MS Office. Využití ve výuce matematiky však nacházejí zejména tabulkové procesory (OpenOffice Calc, MS Office), které umožňují rychlé zpracování velkého množství dat a grafická znázornění, což lze využít například během výuky statistiky.

Drilové a procvičující

Mezi drilové a procvičující řadíme ty programy, kterými studenti postupně procházejí a dostávají zpětnou vazbu o správnosti. Odpovídají prvnímu cíli Bloomovy taxonomie - zapamatování specifických informací. Zpravidla umožňují téměř neomezeně procvičovat a dokáží udržet pozornost. Jsou ideálním řešením pro případy, kdy je třeba se látku naučit zpaměti a uložit si ji do dlouhodobé paměti. Na webových stránkách se hojně vyskytují zejména jako programy na procvičování základních operací s celými čísly.

Instruktážní (tutoring)

Programy, které provázejí novou látkou. Kombinují vysvětlení látky s jejím procvičením prostřednictvím her, simulací či testů. Podporují žáky v interakci prostřednictvím nutného ovládání a reakcí na programy. Zpravidla se snaží pojmout více cílů Bloomovy taxonomie. Příkladem může být placený program TS Matematika pro prvňáčky, který je rozpracován po jednotlivých vyučovacích hodinách a v dětech má podporovat jejich zvídavost a snahu po objevování [3].

Simulační

Programy názorně ukazují modelové situace pro pochopení systémů (jevů). Převádějí naučenou látku do reálného světa (čímž vtahují žáka do procesu učení) a zároveň zajišťují bezpečnost edukačního prostředí, šetří čas i náklady. Snaží se podpořit třetí cíl Bloomovy taxonomie - aplikaci (použití abstrakce a zobecnění v konkrétních situacích). Příkladem může být program simulující napouštění bazénu v závislosti na přívodech a době napouštění či program simulující střet proti sobě jedoucí dvojice aut v závislosti na jejich vzdálenosti a rychlosti.

Herní (tzv. výukové hry)

Motivují přidáním prvku hry a soutěžení do aktivity učení. Žák soutěží sám se sebou (se svým nejlepším výkonem), s počítačem nebo s jiným žákem. Příkladem může být hra dostupná na https://www.mathplayground.com/alienangles.html, ve které žák ukazuje cestu mimozemšťanům prostřednictvím určování úhlu. 

Objevitelské

Programy tohoto typu předkládají množství látky vztahující se k tématu a dávají žákovi volnost při hledání vlastních odpovědí a závěrů. Zaměřují se tak na podporu vyšších cílů v rámci Bloomovy taxonomie.

Problem solving

Tematické programy zdůrazňují kritické myšlení, analýzu, logiku a odůvodnění při řešení problémových úloh. Umožňují testovat hypotézy, tvořit strategie řešení. Záměrem je rozvinout schopnosti a kompetenci k řešení problémů. Stejně jako objevitelské typy programů se i tyto programy zaměřují na podporu vyšších cílů v rámci Bloomovy taxonomie.

Tyto programy můžeme kategorizovat dle počtu didaktických funkcí, míry interaktivity, úrovně vzdělávání, zaměření na jednotlivé předměty, tematického rozsahu, verze, on-line či off-line funkčnosti aj. Výukové softwary by zároveň měly splňovat zásadu motivace, zásadu učení bez trémy a stresu, zásadu názornosti a transparentnosti, zásadu umožnění sledování a kontrolování dosažení výukových cílů, zásadu bezprostřední kontroly, zásadu aktivity, zásadu individuálního přístupu a zároveň by měly být uživatelsky přívětivé (Kouba, 1995, s. 70). Ty programy, které se zabývají poznáváním a poznávacím procesem (tj. zejména programy Objevovací a typu Problem solving), nazýváme kognitivními technologiemi. "Kognitivní technologie jsou médiem, které pomáhá přesáhnout omezení mysli (např. cílenou pozornost, krátkodobou paměťovou kapacitu) při přemýšlení, učení a řešení problémů (Pea, 1987, s. 91) ."

Mezi kognitivní technologie používané ve výuce matematiky zahrnujeme počítačové algebraické systémy (např. Mathematica, Derive, Maple), prostředí dynamické geometrie (např. GeoGebra, Cabri, GEONExT, Cinderella), mikrosvěty (např. Logo), tabulkové procesory (např. MS Excel), počítačové laboratoře, grafické kalkulačky, uzavřená výuková prostředí, interaktivní tabule (Vaníček, 2009, s. 12-13).

Programů dynamické geometrie máme celou řadu. Některé se zaměřují na geometrii v prostoru (např. Cabri 3D v2, Dynamická geometrie v prostoru od firmy Pachner, beta verze programu GeoGebra 5.0), většina je však orientována na rovinnou geometrii. V českém prostředí patřil několik let mezi ty nejvyužívanější program Cabri II Plus, který je placený. Dalšími programy jsou GeoGebra a GEONExT. Oba programy mají stejně jako Cabri i české prostředí, ale na rozdíl od něj jsou oba programy tzv. freeware (tj. jsou volně ke stažení). Trochu odlišným programem je Cinderella. Není sice v češtině jako předchozí programy, ale oproti předchozím se neomezuje jen na Euklidovskou geometrii a má nástroje vhodné pro podporu výuky fyziky. Freeware je verze Cinderella 2.6. V zahraničí je na podobné úrovni obliby, jako u nás Cabri, konkurenční program Geometer´s Sketchpad. Mezi další programy dynamické geometrie, které slouží k podpoře výuky v zahraničí, patří Felix, Wiris, Geolog, Geometric Supposer, Geometry Inventor, Geonet, Thales (Havelková, 2010b, s. 9-10).

A právě dynamický software GeoGebra je, jak již bylo řečeno úvodem, v České republice programem, jenž získává na stále větší oblibě a začíná překonávat oblibu programu Cabri. Důvodů, proč tomu tak je, je hned několik. "Tím primárně nejvíce vnímaným důvodem je to, že GeoGebra se řadí mezi freeware. To umožňuje dostupnost i do škol, ve kterých nemají na koupi placených programů dynamické geometrie. Sekundárně však můžeme zjistit, že program není jen formou nouzového řešení. GeoGebra totiž není jen dynamickou geometrií, ale snoubí v sobě zároveň i algebru a infinitezimální počet, což je něco, na co běžný uživatel programů dynamické geometrie (u nás nejčastěji Cabri, GEONExT) není zvyklý. V důsledku toho však uživatel často nevyužije skutečného potenciálu, který GeoGebra nabízí (Havelková, 2010b, s. 32)." "Přestože program disponuje širokou paletou funkcí a jejich možností využití, uživatelské rozhraní je velmi jednoduché a i nezkušený uživatel se v programu velmi rychle zorientuje a je schopen program použít. Použít program zvládne tak i žák prvního stupně základní školy. Zároveň však i zkušený uživatel zjistí, že se může učit stále novým věcem (Havelková, 2011, s. 33)."

1.3 Výhody výukových programů

Použití výukových programů v hodinách matematiky skýtá řadu výhod. Jednou z výhod nasazení výukových programů spočívá již v samotném využití počítačů. "Počítače vytvářejí spolehlivé a přitažlivé prostředí pro učení, které dětem nevyhrožuje ani neubližuje, naopak je láká a přitahuje. ... Děti, které učení nebaví, se díky počítačům mohou pro učení nadchnout, a to může přispět ke školnímu úspěchu (Černochová a další, 1998, s. 10)." Faktor využití počítače tak na žáka může působit motivačně. S častým využitím počítače během vyučování však tato motivace klesá, protože počítač ve výuce již přestává být něčím novým.

Výukové programy mohou být výhodou také pro nadprůměrně i podprůměrně nadané žáky, neboť poskytují žákům soukromí a respektují individuální požadavky žáka, jeho tempo učení a dovednosti (Černochová a další, 1998, s. 10). Navíc tyto programy zpravidla poskytují bezprostřední zpětnou vazbu, kterou žák nemusí během běžné výuky vždy získat. Zpětná vazba je přitom nástrojem umožňujícím učit se ze svých chyb a opakovat úspěchy (Reitmayerová a další, 2007). Maximální využití zpětné vazby v programovém učení podporuje učení s pochopením, se znalostí výsledků a s kontrolou a sebekontrolou (Vališová, 2007). Výukové programy tak zároveň přesouvají epistemologickou autoritu z učitele, a tak se žák stává zodpovědnějším za proces vlastního vzdělávání (Heid, 1997).

"Prostředí dynamické geometrie je typem kognitivních technologií, který v současnosti ve výuce matematiky na českých základních a středních školách vykazuje nejvyšší míru didaktické použitelnosti a je učiteli škol pro výuku matematiky vyhledáván a používán nejvíce (Vaníček, 2009, s. 43)." "Kognitivní technologie, jsou-li vhodně využity, mají velký dopad na výuku matematického poznání jedince a jeho pohledu na svět. Podporují přirozené dětské myšlení a porozumění, rozšiřují hranice aktivit a řešení problémů (Vaníček, 2009, s. 14)."

Jak již bylo ukázáno na příkladu geometrie v knize Jiřího Vaníčka Počítačové kognitivní technologie ve výuce matematiky, dynamická geometrie je jak programem pro demonstraci již běžně požívaných příkladů z geometrie, tak zdrojem inspirace pro zcela nové typy úloh. Zároveň "svojí názorností a vizuální stránkou mohou technologie urychlit tvorbu geometrických pojmů u jedince, umožní kvalitnější a lépe řízený přechod mezi úrovněmi uchopení pojmu jedincem (Vaníček, 2009, s. 14)". Jedince mohou podněcovat k vlastnímu bádání a kvalitativně změnit obsah a tok kognitivních procesů spojených s řešením problémů (Pea, 1985). "Díky bezprostřední číselné nebo grafické zpětné vazbě může žák u matematických úloh pozorovat v reálném čase dopad změn vstupních parametrů na změnu výsledku, a zvažovat tak, který z parametrů má zásadní vliv na změnu celého zkoumaného objektu (Vaníček, 2009, s. 18)." A na rozdíl od běžného sešitu, výukový program nesnese nepřesnost v zápisu či konstrukci. Tím ukazuje žákům na význam technicky správně provedených konstrukcí (např. u konstrukce kružnice vepsané trojúhelníku žáci často poloměr kružnice odhadují, v programu dynamické geometrie se tato chyba však vždy jednoduše prokáže, což žákovi poskytuje odpověď na otázku, proč je nezbytné konstruovat přesně, nikoliv jen s odhadem).

Mezi další výhody užití softwaru dynamické geometrie uvádí Volker Ulm vizualizaci, uvedení velkého množství situací v rámci jednoho appletu, spojitost změn v závislosti na změně objektu (parametru) a možnost pravidelného zaznamenávání průběžných hodnot (Ulm, 2010, s. 14). Zatímco při jednotlivých nákresech na tabuli či do sešitu poukážeme na jednotlivé možnosti řešení, pomocí dynamické geometrie můžeme ukázat na jejich množinu. Přitom při změně parametrů se objekty mění v reálném čase, což nám umožňuje zapojení obou mozkových hemisfér (např. při využití statické ilustrace pozice ortocentra v trojúhelníku využíváme především levou mozkovou hemisféru, při využití dynamické ilustrace téhož zapojujeme i pravou mozkovou hemisféru).

Proces budování matematických poznatků je procesem, jehož nedílnou součást tvoří získání dostatečného množství separovaných modelů (Hejný, 2004). Čím více modelů jedinec získá, tím pevnější bude jeho výsledné poznání. Právě vizualizace může poskytnout jeden z možných modelů, který jedinci může umožnit se posunout blíže k abstraktnímu poznání. Různorodost modelů rovněž vyhovuje i různorodým požadavkům různých učebních stylů jednotlivých žáků. Navíc, pokud během výkladu využijeme vizualizaci, snižujeme tím hladinu potřebné aktuální paměťové kapacity (která je u každého jedince omezená) (Resnick a další, 1988), čímž jedinci umožníme využít zbylou mentální kapacitu na intenzivní přemýšlení. Při pouhém vysvětlování bez vizualizace totiž velkou část naší aktuální paměťové kapacity využíváme k představování si situace.

Použití počítačového programu ve výuce matematiky může rovněž usnadnit žákovu koncentraci. "Během řešení matematické úlohy žák pracuje v různých úrovních myšlení, střídá jakousi vyšší a nižší úroveň (Vaníček, 2009, s. 20)." Vyšší úroveň představuje strategii celého řešení (tj. co všechno musím udělat, abych dosáhl výsledku) a nižší úroveň představuje realizaci dílčích kroků nezbytných k dosažení řešení (Kutzler, 2000). Časté střídání těchto dvou úrovní je velmi náročné na koncentraci žáka a může způsobit jeho častější chybování. V případě, že nás zajímá zejména širší strategie řešení úlohy a dílčí výpočty nejsou nejdůležitější součástí, můžeme žákovi poskytnout vhodný program, který by dílčí úlohy na nižší úrovni počítal. Na úrovni základního vzdělávání mohou žáci často využít např. při řešení slovních úloh kalkulačku (není tak významná samotná numerická operace jako sestavení rovnice aj.) nebo při konstrukci kružnice vepsané nástroje DGE (více se zaměřujeme na to, jak kružnici zkonstruovat - jak najít střed a poloměr, než na to, jak zkonstruovat osu úhlu), na vyšší úrovni vzdělávání mohou žákům obdobným způsobem pomoci u náročnějších úloh programy typu CAS i DGE (např. při konstrukci Apolloniovy úlohy pkk).

Dynamický applet obdobně jako obrazový materiál může plnit funkci reprezentující (ten vytváří u žáků adekvátní obrazové představy), organizující (který může měnit žákovy deklarativní znalosti ve znalosti procedurální), interpretující (usnadňuje žákům pochopení učiva tím, že se snaží vytvořit správné představy), transformující (ovlivňuje způsob, kterým žák zpracovává informace), afektivně-motivační (vzbuzuje v žákovi zájem o učivo, oživuje průběh učení, překvapuje), koncentrování pozornosti (navozuje a udržuje žákovu pozornost) a funkci kognitivně-regulační (slouží jako podpora poznávacích procesů) (Čáp a další, 2007, s. 498-502).

1.4 Nevýhody a rizika výukových programů

Stejně tak, jako s sebou nese využití výukových programů řadu pozitiv, nese s sebou i řadu souvisejících rizik. Tato rizika je nezbytné si uvědomovat, abychom se jim mohli co nejlépe vyhnout, a tak využít výukové programy co nejvhodnějším způsobem. Řada nevýhod přitom plyne i ze samotného nadšení učitelů, kterým se technologie dostanou do rukou a oni je ve svém nadšení chtějí ihned využít, avšak bez jakéhokoli předchozího obeznámení se s nimi či bez vhodného školení.

Při prvním setkání učitele s kognitivními technologiemi mohou tyto technologie způsobit velké nadšení a až nereálná očekávání. Je pak již přirozeným důsledkem, že toto nereálné očekávání je nahrazeno postupným zklamáváním se a následným zanevřením na využití technologií. Osobně jsem se setkala s případem učitelky na gymnáziu, která se po prvním setkání s programem GeoGebra ihned nadšeně vrhla do tvorby celé řady konstrukčně velmi náročných appletů. Tyto applety následně během jedné hodiny promítala žákům. Žáci, kteří na tuto situaci nebyli zvyklí, sice zprvu pozor dávali, ale jejich zájem (kromě výjimek) postupně opadl. Učitelka si z této zkušenosti odnesla velmi negativní zážitek a v současné době si nechává výuku rozvrhnout záměrně do učeben, ve kterých nejsou žádné technologie. Její snaha, kterou vynaložila při tvorbě appletů, jí přišla zpětně zcela zbytečná.

Nemůžeme očekávat, že pouhé použití technologií bude působit na žáky po celou dobu natolik magickým dojmem, že budou pozorní po celou dobu jejich využití. Tyto technologie jsou pouze jedním z možných didaktických pomůcek, o jejichž vhodném začleňování musíme uvažovat s rozvahou. Výše uvedený případ glosoval ještě jiná z dalších rizik využití zejména začátečníky. Pro tuto vyučující byl program něčím novým, a tak se více než na didaktickou stránku věci soustředila na uživatelské zvládnutí, což ve svém důsledku mohlo zastínit samotný cíl výukové hodiny. Celá řada připravených appletů zároveň vedla ještě k dalšímu, velmi častému úskalí při použití počítačových technologií ve výuce - zahlcení velkým množstvím látky. Vzhledem k tomu, že učitelka nad tvorbou appletů strávila mnoho času, problémy, nad nimiž by se možná jindy zastavila na delší čas, jí přišly již natolik zřejmé, že jim věnovala výsledně mnohem méně času než obvykle.

Dalším faktorem, který hraje významnou roli, je zvolení vhodných úloh (příkladů), ke kterým program využijeme. Pokud tak například v programu GeoGebra budeme po žákovi chtít zkonstruovat trojúhelník s pevně danými hodnotami, přínos programu v hodině bude téměř nulový (stejnou konstrukci může žák provést i do sešitu, čímž rozvíjí dovednost rýsování). Je tak nasnadě volit úlohy, ve kterých má dynamika programu smysl (např. úlohy s parametry).

Rizikem, ke kterému se využití technologií ve výuce váže a kterému se lze jen těžko vyhnout, jsou možné technické problémy (doma připravené materiály nefungují v zastaralé verzi programu, kterou máme ve škole, aj.). Nejlepším způsobem, jak se těmto rizikům vyhnout, je očekávat a být na ně co nejlépe připraven. To ve svém důsledku ale předpokládá z pozice učitele velmi důkladnou přípravu (kontrola programu na školních počítačích, uložení své přípravy na více médií, zvážení alternativního programu aj.). Nevýhoda, která se k tomuto riziku pojí, je, že využití technologií v sobě zahrnuje i nároky na technickou zdatnost učitele.

Rizikem pokročilých uživatelů programů je, že k výuce mohou nevhodně zvolit program, který je uživatelsky náročný. Žákům tak samotné zorientování se v programu může zcela zastínit původní cíl. Toto riziko se může vázat zejména k využití programů typů CAS, kde je nutné použití různých příkazů (ovládání programu není pro žáka intuitivní). Žák tak může použít sled příkazů, které ví, že má použít, aniž by chápal, proč tak činí.

Obdobné riziko však hrozí i u prostředí programů, která jsou intuitivní. Žák se namísto na řešený matematický problém zaměří na uživatelské zpracování (tj. začne využívat různých tlačítek v naději, že nějaké mu přinese kýžený výsledek). "Bez potřebného množství vědomostí člověk dost dobře nemůže přemýšlet proto, že nemá o čem a novou informaci nemá kam zařadit ... když něco najde, neví a nepozná, zda to k jeho předmětu patří, a už vůbec nepozná, zda našel cennou informaci nebo úplnou pitomost (Piťha, 2008)." Takový, byť správně nalezený výsledek, samozřejmě nesplní představu učitele o správném řešení zadaného problému. Program má být pomůckou a žák tím, který se nad problémem zamyslí.

Dalším činitelem, který může negativně poznamenat názor učitele na využití technologií ve výuce, je strach ze ztráty moci, která mu původně byla pro řízení vzdělávacího procesu svěřena (Bertrand, 1998, s. 115). Obavy, že žák přesune pozornost z učitele na výukový program řízený počítačem. Strach z pocitu, že jsem v procesu vyučování již zbytečným. Tato obava může přijít oprávněná i nezaujatému pozorovateli. Nicméně při detailním pohledu na přípravu hodiny (zvolení vhodných appletů, gradovaných úloh) a na nenápadné zásahy učitele během vyučovací hodiny by mělo být patrné, že úloha učitele je nezastupitelná. Při využití náhodně zvolených appletů se může vytratit záměr a cíl vyučovací hodiny. Zároveň by se na takové výuce negativně odrážela nemožnost interakce s učitelem v případě, že žák látce neporozumí.

U programů dynamické geometrie musíme brát v potaz i další rizika. "Rizikem vizualizace geometrické situace pomocí počítače může být příklon žáka k vnímání modelu jako reality (Vaníček, 2009, s. 20)." Různě zvolená tloušťka jednotlivých objektů může bránit žákovi v představě o nehmotnosti geometrických objektů. "Počítačové vizualizace nemohou plně nahradit kreslení náčrtků také pro materiální bezprostřednost a srozumitelnost jejich vytváření - v počítači není vždy evidentní, jakým postupem model vznikl (Vaníček, 2009, s. 20)."

Poslední, avšak pro řadu učitelů největší jmenovanou nevýhodou je potřeba technického zázemí (počítače, projektory aj.) a přístupu k výukovým programům. "Účinek nasazení počítače ve výuce úzce souvisí s působením kvality technického vybavení, s působením použité šířky spektra standardního softwaru, především ale s kvalitou výukového softwaru (Kouba, 1995, s. 68)." Minimálním technickým zázemím k využití programu DGE ve výuce matematiky (kterému se tato práce věnuje) by měl být počítač a dataprojektor. Takovým zázemím již však naše školy zpravidla disponují.

2 GeoGebra

2.1 O programu

Pohled na bakalářskou práci Volně stažitelné geometrické programy (Havelková, 2010b), která se věnuje srovnání programů GeoGebra, GEONExT, Cinderella s programem Cabri, ale především představuje program GeoGebra jakožto mnohostranně účelný počítačový program pro podporu výuky matematiky, přímo vybízí k tomu, abychom se zaměřili na to, kam se za pouhé dva roky tyto softwary posunuly.

Zatímco u programů GEONExT a Cabri došlo v předchozích letech k úplnému zastavení jejich rozvoje, u GeoGebry došlo k velkému rozvoji, který by mohla dobře ilustrovat křivka exponenciální funkce. Program byl vyvíjen zhruba od konce dvacátého století Marcusem Hohenwarterem původně jako jeho studentská práce.

Verzi GeoGebra 1.0 [4] vyvíjel v letech 2001-2002. Tato verze neměla ani setinu funkcí, na které je současný uživatel zvyklý. Programová nabídka nebyla rozvíjející a obsahovala jen malé množství nástrojů. Vzhled vytvořených objektů ani nákresny nebylo možné měnit. Program již sice obsahoval vstupní panel, ale chyběla předdefinovaná nabídka příkazů, což užití značně komplikovalo. Verze v té době nabízela pouze anglické a německé prostředí. Program zároveň disponoval i možnostmi, od kterých bylo v dalších verzích upuštěno (přepnutí vzhledu programu a vypnutí nebo zapnutí anti-aliasingu ).

Verze GeoGebra 2.0 [5] byla připsána datu 9. ledna 2004. Stejně jako verze 1.0 nabízela pouze anglický a německý jazyk, rovněž nedisponovala velkou programovou nabídkou. Program se však výrazně vyvinul v mnoha jiných ohledech - ve vstupním panelu přibyla nabídka předdefinovaných příkazů, program již umožňoval vykreslovat funkce jedné proměnné, derivovat, integrovat, zobrazoval konstrukční protokol a v omezené míře umožňoval nastavení vzhledu objektů a nákresny.

Verze GeoGebra 3.0 [6] se stala v mnoha ohledech průlomovou verzí. Také na ní uživatelé čekali přes čtyři roky až do 22. března 2008. Na vývoji této verze se již nepodílel již jen sám Marcus Hohenwarter, ale od roku 2005 i Yves Kreis z Lucemburska a od roku 2007 se zapojil Michael Borcherds z Velké Británie. Projekt ale zaujal mnohem více lidí, kteří se k němu chtěli připojit. To způsobilo, že oproti původním dvěma jazykům, které program nabízel ve svých předchozích verzích, nabídka jazyků u této verze se zásadně změnila. GeoGebra 3.0 náhle disponovala 39 jazyky, a to včetně toho českého. O překlad do češtiny se postarala Marie Pokorná společně s Pavlem Sokolem. Česká lokalizace však ani zdaleka nebyla tím jediným, čím se mohla tato verze pochlubit. Poprvé byla užita rozvíjející se nabídka u programového panelu, společně s ní se objevilo i mnoho nových nástrojů. Navíc měl uživatel možnost do programových nástrojů zasahovat a vytvářet nástroje nové, své vlastní. Nárůst zaznamenala rovněž nabídka předdefinovaných příkazů uvnitř vstupního panelu. Poprvé se nám dostalo možnosti ovlivňovat nastavení nákresny a nastavení objektů doznalo významného rozšíření. Výsledný applet jsme mohli také již exportovat jako dynamickou webovou stránku. Díky tomu se GeoGebra 3.0 stala konkurenceschopnou k placeným softwarům dynamické geometrie, jako je Cabri a jiné.

Přechodnou verzí byla GeoGebra 3.2, která byla ke stažení od 3. května 2009 [7]. Tato verze byla obohacena o mnoho nových příkazů a programových možností (např. přidání nástrojů pro kuželosečky). Nejvýznamnější změnou ale bylo přidání tabulky (Spreadsheet View). Zároveň došlo i k rozšíření komunity a s tím koreloval fakt, že GeoGebra 3.2 byla dostupná ve 45 jazycích.

GeoGebra 4.0 je pro uživatele dostupná od 20. října 2011 [8]. Přestože tato verze ještě neobsahuje některé původně slibované funkce (CAS view a 3D view), obsahuje i tak mnoho nových možností. Počet příkazů vzrostl na úctyhodných 418 [9]. Nově lze pracovat ve dvou na sobě závislých nákresnách, graficky řešit soustavy nerovnic, vykreslovat křivky... Zejména učitelé mohou ocenit funkce zjednodušující spolupráci programu s interaktivní tabulí (psaní perem, přidání klávesnice). Pokročilým uživatelům se otevřely nové možnosti využití programu prostřednictvím použití skriptovacích jazyků (pro program vytvořeného GeoGebraScriptu a JavaScriptu).

Vývoj však stále není u svého konce, program neustále zdokonaluje dnes již široká skupina odborníků z celého světa. V současné době program nabízí krom standartní verze i verzi pro mladší žáky (GeoGebra Prim), dostupné jsou rovněž beta verze se systémy CAS (plně dostupné má být tzv. CAS view od verze GeoGebra 4.2) [10] a 3D (plně dostupné má být tzv. 3D view od verze GeoGebra 5) [11]. Vývojáři (pod vedením Gábora Ancsina a Zoltána Kovácse) nyní rovněž pracují na aplikaci GeoGebraMobile vhodné pro smartphones či tablety [12].

Velký počet uživatelů společně s webovým zázemím programu přináší hned několik výhod. Na webových stránkách programu můžeme nalézt odkaz na GeoGebraTube (ta nahrazuje starší GeoGebraWiki), která je nepřetržitě obohacována o různorodé applety uživateli z celého světa. Každý uživatel si zde může zřídit profil, na kterém může postupně zveřejňovat své vlastní applety a vytvářet si vlastní sady materiálů dle zaměření aj. Zároveň je možné využívat odkazu GeoGebra User Forum, kde si narůstající počet registrovaných uživatelů radí ve svých specifických otázkách ohledně tvorby různorodých appletů, a tak zároveň inspiruje ostatní (i neregistrované) uživatele fóra.

GeoGebra se tak díky svým stávajícím i budoucím možnostem stává programem velmi vhodným pro podpoření výuky matematiky. Výhodou nejsou jen hotové applety. Již samotná tvorba appletů v tomto programu může uživateli poskytnout náhled na propojení algebry, matematické analýzy s geometrií, a tak podnítit jeho představivost (Havelková, 2010a).

2.2 Prostředí programu

Obr. 2 Prostředí programu

Náhled na program (obr. 2) ukazuje, že se okno programu rozděluje na několik sekcí, které jsou pro lepší přehlednost odlišeny barevnými rámečky. V modrém okně je dvojice nákresen, ve kterých se zobrazují konstruované objekty. Algebraické okno (červená sekce) zobrazuje všechny vytvořené objekty pomocí zápisu. Nákresna (případně nákresny) a algebraické okno jsou na sobě závislé sekce (geometrický objekt je v algebraickém okně znázorněn algebraicky a naopak). Tabulka (zelená sekce) umožňuje zachycovat různé hodnoty, počítat (obdobně jako je tomu u tabulkových editorů) a hodnoty například generovat jako tabulku bodů. S použitím nástrojů (oranžová sekce) lze vytvářet na nárysně nové objekty, zjišťovat jejich vzájemné vztahy apod. Růžová sekce je nápovědou a zobrazuje kompletní seznam nabízených příkazů. Pomocí vstupního panelu společně s příkazovým řádkem (černá sekce) zadáváme algebraicky libovolné objekty (body, funkce, křivky apod.). V horní části programu nalezneme klasický panel nástrojů (žlutá sekce).

Detailní přehled funkcí a manuál programu je dostupný na webových stránkách www.geogebra.org.

3 Možnosti využití programu GeoGebra ve výuce matematiky

3.1 Články a výzkumy

"Podle Caperton - Papertovy platformy (Papert, 1999) škola zaostává za společností, a proto žáci považují školu za irelevantní pro svůj život. Důsledkem toho je, že žáci školu opouštějí, ztrácejí zájem se učit. Podle této platformy naděje na změnu tkví ve dvou faktorech: prvním jsou technologie a druhým (...) je naše změna postojů k tomu jak žáky učit (Vaníček, 2011)." O prvním faktoru, o využití technologií, konkrétně dynamické geometrie ve výuce matematiky, pojednávala již řada článků a zabývalo se jimi mnoho výzkumů. Starší z těchto článků se věnují především aplikování programu DGE do výuky geometrie. S příchodem programu GeoGebra se však možnosti aplikace do výuky matematiky rozšířily za hranice geometrie. V této kapitole si představíme některé ze zkušeností českých a zejména zahraničních autorů.

V podkapitole 3.2 se zaměříme na výzkumy, které se věnovaly využití dynamické geometrie ve výuce geometrie za použití různorodých programů DGE.

V podkapitole 3.3 nahlédneme na několik výzkumů, které se zaměřují na využití programu GeoGebra ve výuce funkcí. Zároveň si uvedeme i jeden příklad konkrétního využití v České republice.

Podkapitola 3.4 nastíní některé z dalších možností uplatnění programu, které publikovali různí autoři na vybraných konferencích.

Podkapitola 3.5 shrne jednotlivé výzkumy a články této kapitoly.

3.2 Využití programů DGE ve výuce geometrie

Jedním z výzkumů, který se věnoval dopadům využití dynamické geometrie ve výuce matematiky, byla kalifornská studie o účincích počítačového softwaru na dosažené výkony v matematice a o vlivu na postoj vůči matematice u žáků desátého a jedenáctého ročníku (žáci ve věku patnáct až šestnáct let). Žáci experimentální skupiny byli zapojeni do výuky geometrie pomocí přístupu, který zahrnoval konstruktivistickým způsobem počítačové aktivity, zatímco žáci kontrolní skupiny byli zapojeni do více tradičního způsobu výuky geometrie. Žáci experimentální skupiny prokázali výrazně lepší výkon na standardizovaném testu geometrických pojmů než u kontrolní skupiny (signifikantní na úrovni 0,05). Výsledky hodnocení postojů žáků k matematice byly u tohoto výzkumu smíšené (Funkhouser, 2002).

K odlišnému výsledku došel výzkum pocházející z Iona College v New Yorku. Studie zkoumala účinky zapojení programu dynamické geometrie do učiva sedmé třídy (žáci ve věku jedenácti let). Žáci v experimentální skupině byli zapojeni do výuky, která zahrnovala využití dynamické geometrie, zatímco studenti v kontrolní skupině byli vedeni tradičním přístupem. Po dobu čtyř týdnů, během kterých výzkum trval, byly u žáků v obou skupinách pozorovány rozdíly v postojích k učivu a jejich motivaci. Po uplynutí této doby a následném post-testu z geometrie, byly výsledky vyhodnocovány pomocí t-testu, který byl proveden na obou skupinách. Výsledky výzkumu ukázaly, že začlenění softwaru dynamické geometrie nezlepšilo výkon žáků v post-testu. Výzkumní pracovníci této studie však u experimentální skupiny objevili rozdíly v postoji k probíranému učivu. Následné rozhovory s žáky dále u této skupiny objevily zvýšení motivace, vzrušení a touhy po poznávání (Sarracco, 2005).

Jedním z novějších výzkumů byl turecký výzkum zaměřený na učivo shodnosti a podobnosti trojúhelníků. Výsledky tohoto výzkumu ukázaly, že žáci, kteří byli v experimentální skupině, kde se využívala DGE během výuky, podali výrazně lepší výkony v rámci této oblasti učiva. Kromě toho se u žáků v experimentální skupině prokázal větší zájem a motivace k učení geometrie ve srovnání s žáky v kontrolní skupině, u kterých se často projevil nedostatek zájmu a zvědavosti. Rovněž komentáře studentů během vyučování a vyjadřování v testech byly přesnější a vyspělejší v experimentální skupině. Pro zajímavost uveďme, že kvalitativní údaje z experimentální skupiny v tomto výzkumu také naznačovaly, že chlapci prokázali větší zájem o počítačové vzdělávání než dívky, ale na dosažené výsledky tento fakt neměl žádný významný vliv (Erbas a další, 2011).

Efektu použití dynamické geometrie ve výuce matematiky se věnovala i celá řada dalších výzkumů, jako například německý výzkum Thomase Gawlicka (Gawlick, 2002) aj. Ne všechny výzkumy však prokázaly jednoznačný vliv užití dynamické geometrie ve výuce geometrie. Příkladem může být studie The Impact of the Use of Dynamic Geometry Software on Student Achievement and Attitudes towards Mathematics (Hull a další, 2004), která neprokázala pozitivní ani negativní vliv užití programu.

Z výzkumů, jež se věnovaly užití programů dynamické geometrie u žáků prvního stupně, jmenujme alespoň práci The Geometer's Sketchpad for Primary Geometry: A Framework (Ng a další, 2003).

Ačkoliv se většina výzkumů tradičně spíše zaměřuje na dosažené výsledky u žáků, existují i výjimky. Jednou takovou je i případová studie prezentovaná v časopisu School Science and Mathematics. Tato studie zjišťovala, jak budoucí středoškolští učitelé matematiky vnímají potřebnost a výhody formálních důkazů, podaných v rámci geometrických úloh prostřednictvím programu dynamické geometrie. Výsledky naznačily, že se tito budoucí učitelé obávali, že žáci po použití dynamického softwaru neuvidí potřebu důkazů. Účastníci uváděli, že rozmanité příklady nejsou rovnocenné formálním důkazům, ale současně zpochybňovali význam formálního důkazu pro studenty středních škol. Za největší přínos těchto programů považovali to, že žákům pomáhají pochopit klíčové vztahy uvnitř úloh. Sami budoucí učitelé také během studie inklinovali ke studiu problému hlouběji se softwarem nežli bez něj (Pandiscio, 2002).

V České republice se výzkumům zaměřeným na dynamickou geometrii věnoval Jiří Vaníček. Jeden z jeho výzkumů byl realizován v letech 1998 - 1999 a měl za záměr pozorovat vliv počítačem podporované výuky geometrie na geometrickou představivost. Výzkum byl prováděn během 7 měsíců celkem 14 hodin během nepovinného předmětu cvičení z matematiky u žáků na gymnáziu. Žáci během těchto hodin používali program dynamické geometrie jak na látku určenou učivem dané věkové kategorie, tak na témata, která umožňují co nejlépe využít přednosti tohoto softwaru. Závěr výzkumu neprokázal žádný vliv použití programu na geometrickou představivost žáků. Na tento výsledek však mohla mít vliv řada faktorů - především malý počet žáků v experimentální skupině (celkem devět žáků) či dlouhé prodlevy mezi jednotlivými hodinami (14 dní). Mezi další výzkumy, kterým se Jiří Vaníček věnoval ve své dizertační práci, patřily např. analýza chyb v dynamické konstrukci či dynamické versus množinové zadání úlohy (Vaníček, 2001).

Mezi novější české výzkumy patří výzkum realizovaný ve školním roce 2009 - 2010, kde bylo záměrem porovnat tradiční výuku s použitím rýsovacích potřeb a výuku podle upraveného kurikula s výlučným rýsováním pomocí DGS na tematickém celku Osová souměrnost. Výzkum poukázal na fakt, že dynamická geometrie by neměla absolutně nahradit tradiční geometrii a rýsování. Zároveň bylo zjištěno, že použití programu dynamické geometrie u žáků navodilo vyšší sebevědomí a pocit úspěchu (Huclová a další, 2012).

3.3 GeoGebra ve výuce funkcí

Program GeoGebra umožňuje na rozdíl od běžných programů DGE tvorbu appletů podporujících výuku funkcí. Program umožňuje jak běžné vykreslování funkcí (které ještě některé programy DGE umožňují), tak vykreslování a výpočet derivací, integrálů, označování inflexních bodů aj. Vybrané příklady využití programu pro výuku funkcí přináší například článek Dynamic investigation of functions using GeoGebra (Hohenwarter, 2006).

V roce 2006 byly applety vytvořené v programu GeoGebra použity do interaktivních výukových prostředí v rámci projektu "Austrian high schools". S podporou učitelů a pomocí různých druhů vzdělávacích materiálů (např. běžné tištěné pracovní listy, interaktivní applety, kvízy) byli žáci vedeni k objevování pojmů derivace a integrál. Tato učební prostředí byla testována v rakouských vysokých školách s několika stovkami studentů (Embacher, 2006). Studenti, kteří se projektu zúčastnili, shledali celkově dynamické a interaktivní materiály jako užitečné pro pochopení a představení si základních matematických pojmů. Po jednom týdnu práce s dynamickými applety podporujícími výuku funkcí studenti nejčastěji říkali (Hohenwarter a další, 2011):

"Pomáhá to, když vidíte, co se mění, v závislosti na změně něčeho jiného."

"Když budete posouvat bod B k bodu A, uvědomíte si, jak se ze sečny stane tečna. S nákresem na papíře jsem nikdy nebyl schopen si představit, jak to bude vypadat."

"Můžete hodně experimentovat a vyzkoušet mnoho věcí, najít vlastní řešení problémů."

Zatímco je GeoGebra široce používána na základních a středních školách, zejména v Evropě, její používání na univerzitní úrovni se postupně rozvíjí. Existuje několik vyučujících v USA, kteří již vložili na internet své dynamické applety podporující výuku infinitezimálního počtu. Tito vyučující se vyjádřili v tom smyslu, že vytváření obdobných materiálů je jednodušší a méně časově náročné s programem GeoGebra než s jiným softwarem (například s programem Maple) (Hohenwarter a další, 2008). V článku však vyučující uvádějí i řadu jiných výhod, kterým se program od ostatních odlišuje, a své první zkušenosti s tímto programem.

V České republice užívá GeoGebru jako podporu výuky funkcí Jiří Haviger. Na svých webových stránkách [13] publikoval řadu appletů s doprovodným textem. Tyto stránky byly vytvořeny jako podpora pro pochopení klíčových pojmů kurzů ZMAT1 . Autor sám považuje program za velmi vhodný pro demonstraci pojmů v úvodních kurzech matematické analýzy i přes jeho případné nedostatky (např. nespolehlivá derivace na obecné funkce) (Haviger, 2009, s. 80).

3.4 GeoGebra v dalších oblastech výuky matematiky

Na korejských základních školách se žáci sice příležitostně setkávali s modely mnohostěnů, ale žáci středních škol měli již malou šanci se s těmito modely nebo s kybernetickými 3D applety setkat. Kang a Choi-Koh studovali vývoj vzdělávacích materiálů pro SD geometrii za pomocí počítačového softwaru (Kang a další, 1999). Následně bylo navrženo několik příkladů na zkoumání objektů v 3D prostřednictvím programu Geometer's Sketchpad. Tyto příklady vyhovovaly učebním osnovám středních škol v Koreji, nicméně však nebylo možné tyto objekty otáčet a propojovat je s jejich algebraickou interpretací. K tomuto účelu vytvořil tým autorů v programu GeoGebra applet, jehož prostřednictvím bylo možné znázornit různé 3D objekty prostřednictvím 2D programu (obr. 3) (Park a další, 2010). Přestože je dnes již dostupná 3D verze GeoGebry, tento příklad ukazuje, jaké algebraické možnosti program nabízí. Samotná tvorba podobného appletu není zcela jednoduchá. Vytvoření takového appletu však i dnes může sloužit jako motivační úloha pro studenty transformací v analytické geometrii na vysokých školách (příkladné řešení sestrojené podle autorů článku poskytuje applet E3.ggb).

Nástup výpočetní techniky a CAD systému změnil výuku na mnohých školách. Zásadně však změnil výuku geometrie na ČVUT. Zpočátku sloužil software jen pro pohodlnější, rychlejší a přesnější vypracování technické dokumentace. Vlastní podstata práce se však příliš nezměnila. Rychlý technický pokrok přinesl možnost vizualizace, při které je možné vytvářet parametrické modely se vzájemným vztahem jednotlivých částí. Studenti se mimo jiné v kurzu kinematické a diferenciální geometrie seznamují s matematickým vyjádřením křivek a ploch (obr. 4). Ty jsou sice v používaných CAD programech k dispozici již v hotové formě, neznalost jejich podstaty a vlastností však měly často za následek špatný výběr a nesmyslné užití, což vedlo ke kostrbatým výsledkům a zbytečné početní náročnosti modelu. Pro studenty tak byly jako doplněk k výuce vytvořeny webové stránky Geometrie [14], které jsou doplněny vzorově vyřešenými příklady v programu GeoGebra. Obsah cvičení si tak mohou studenti prohlédnout a prostudovat již doma. Sérii úloh zpracovali studenti kurzu v programu GeoGebra, která na rozdíl od CAD systémů umožňuje dynamický náhled a tím i lepší náhled na jednotlivé situace. Úlohy řešili studenti dobrovolně. Pokud bylo studentovo řešení použito v internetové databázi, byl odměněn bodovým hodnocením, které mohlo ovlivnit i klasifikační stupeň zápočtu. Motivací byla však nejen známka, ale také prezentace před svými spolužáky a vědomí, že vytvářejí studijní materiály i pro další ročníky (Voráčová a další, 2011).

Obr. 3 Spirála 3D ve 2D (Park a další, 2010, s. 7)

Obr. 4 Konchoidální pohyb a jeho polodie (Voráčová a další, 2011, s. 416)

GeoGebru můžeme použít také jako podporu k různým projektům v rámci výuky. Příkladem může být projekt Geometria v našom meste - Využitie digitálního fotoaparátu a GeoGebry při tvorbe úloh s reálnym kontextom (Vidermanová a další, 2011). Projekt byl realizovaný dvakrát - u žáků gymnázia (kvinta se zaměřením na matematiku) a u studentů učitelství matematiky z Univerzity Konštantína Filozofa v Nitře. V obou skupinách následně došlo k rozdělení do menších pracovních skupin. První fází projektu bylo nafocení fotek, které by mohly být užité v matematickém kontextu. V druhé fázi si již v učebně žáci/studenti promítli jednotlivé fotografie a zároveň vytvářeli k těmto fotografiím slovní úlohy. Následně si v programu GeoGebra upravili fotografie vzhledem k potřebám vytvořených úloh (obr. 5). V poslední fázi projektu skupiny řešily vytvořené úlohy. Ohlasy žáků i studentů na tento projekt byly velmi pozitivní. Oceňovali novou formu vyučování, žáci a studenti se cítili aktivně zapojení do vyučovacího procesu. Jeden z žáků napsal: "Podľa môjho názoru je takéto vyučovanie dobré, lebo zaujalo aj mojich spolužiakov (ktorí nemajú radi matematiku). Boli sme nútení rozmýšľať nad tým, kde sa môže geometria využíva v praxi." Na tomto příkladu je vidět, že program může být pouze součástí většího projektu, ve kterém nezaujímá hlavní roli, ale je pouze jedním z využitých nástrojů.

Obr. 5 Upravení fotografie k potřebám slovní úlohy (Vidermanová a další, 2011, s. 405)

Program GeoGebra je však možné využít i v dalších oblastech matematiky, jako jsou komplexní čísla (Sangwin, 2008) a mnohé další - jak již tato kapitola naznačila, záleží na vlastní představivosti a chuti tvořit. Inspiraci dnes můžeme nalézt nejen v článcích, ale i v knihách, které jsou již na tuto problematiku zaměřeny (např. Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen (Kaenders a další, 2011)).

3.5 Shrnutí výzkumů a článků

Z přechozího textu je patrné, že dynamická geometrie a matematický software si vydobývá své místo mezi tradičními didaktickými pomůckami. Pozitivní vliv dynamické geometrie na výuku geometrie či na motivaci žáků dokazuje řada výzkumů. Rozhodně však nejsou výzkumy ve svých výsledcích shodné a samotné tvrzení, že matematický software má vždy jednoznačně pozitivní vliv na výuku matematiky, by byl bezesporu chybný.

Jedním z nejvýznamnějších důvodů, proč je velmi náročné (možná ne-li zcela nemožné) provést výzkum, který by splňoval požadavky vnější validity, je sama povaha způsobu využití těchto programů ve výuce. Faktorů, které ovlivňují výsledky užití programů DGE a jim podobných, je totiž velmi mnoho. A ačkoliv je to možná paradoxní, samy programy se ukazují jako jeden z těch méně významných faktorů. Významná je promyšlená aplikace, role učitele, role žáka. Je zapotřebí, aby všechny tyto faktory byly ve vzájemné harmonii, v takovém případě se pak program může stát neocenitelnou didaktickou pomůckou. Pokud však učitel aplikuje velmi kvalitní program zcela nevhodným způsobem, využití programu nejenže nebude přínosné, ale právě naopak. O problematice významu a role učitele ve výuce matematiky s užitím dynamické geometrie blíže pojednává článek Nicole Bretscher Dynamic geometry software: the teacher´s role in facilitating instrumentál genesis (Bretscher, 2011).

Kvalitní výukový program je podmínkou k tomu, aby bylo jeho použití ve výuce efektivní, ale zároveň zde neplatí vztah ekvivalence v tom smyslu, že nám kvalitní výukový program zaručí efektivní výuku. Program GeoGebra poskytuje učitelům, žákům a studentům širokou oblast využití. Sám o sobě však do výuky matematiky nic nového nepřinese. Klíčové při jeho užívání je to, jakým způsobem ho uživatel uplatní. Zde je velmi důležité, aby si zejména učitelé byli vědomi nejenom výhod těchto programů, ale především nevýhod a rizik aplikování těchto programů do své výuky. Právě znalost nevýhod a rizik je pak prevencí toho, jak se úskalím nejlépe vyhnout.

Při vhodném užití pak program, jak naznačují výzkumy, může přinést efektivnější výuku. A to co do míry osvojených znalostí, tak co do míry zvýšené motivace u žáků a studentů. Zvláště otázka toho, jak v dnešní době děti motivovat pro matematiku, je otázka, na níž hledá odpověď většina učitelů matematiky. Korejská studie u nadaných žáků třech sedmých tříd sledovala míru motivace ve výuce matematiky při použití programu GeoGebra. Ti pomocí programu odhalovali různé zákonitosti a sami vytvářeli různorodé applety. Žáci měli různá témata, která zpracovávali jako dlouhodobý projekt. Výsledné projekty včetně vlastních appletů si pak v závěru vzájemně prezentovali. To, co bylo pro zúčastněné učitele nejdůležitější, bylo, že žáci chtěli pracovat více a tuto práci označovali za zajímavou (Choi, 2010).

To, že program GeoGebra může být zdrojem motivace a porozumění matematice, mě přimělo věnovat mu svou hlubší pozornost již před lety. Zprvu mě GeoGebra zaujala jako program dynamické geometrie, později jsem si začala uvědomovat další možnosti její aplikace i to, jakým způsobem mě GeoGebra ovlivnila ve způsobu mého uvažování při řešení mnohých matematických úloh. Následující kapitoly jsou proto věnované mým dvěma výzkumům a některým zkušenostem, které jsem s používáním tohoto programu na různých školách a při spolupráci s učiteli za poslední roky získala. 

4 Očekávání žáků od použití programů dynamické geometrie ve výuce

4.1 Popis výzkumu

Tento výzkum se zaměřuje na otázku zkušeností s programy dynamické geometrie a očekávání žáků druhého stupně od nich. Cílem je tedy zjistit nikoliv skutečný přínos využití programů dynamické geometrie ve výuce matematiky, ale zjistit zkušenost vyšetřované skupiny žáků s programy dynamické geometrie, jejich názor na možný přínos užití programů pro pochopení matematiky s ohledem na to, zda již s programy pracovali ve škole.

Zvolenou metodou výzkumu je kombinace kvalitativního a kvantitativního výzkumu. Pro výzkum byl použit dotazník (obr. 6) s otevřenými otázkami se stručnou odpovědí a otázkami s jednou i vícenásobnou možností odpovědi.

Výzkum byl realizován na FZŠ Táborská v Praze, která je od roku 1998 fakultní základní školou Pedagogické fakulty UK v Praze. Respondenty byli žáci šestých, sedmých a osmých tříd. Dotazník byl zadán žákům anonymně, v tištěné podobě, během hodin matematiky a po vyplnění byl ihned vybrán (tj. nebyla zde časová prodleva, kdy by si žáci dotazník vzali domů a vrátili ho během dalších dní). Celkově bylo vyplněno 102 dotazníků (z toho 54 vyplnila děvčata a 58 vyplnili chlapci).

Předmět Matematika je na ZŠ Táborská vyučován od prvního do devátého ročníku. Časová dotace předmětu na prvním stupni je 4,5 hodiny týdně a na druhém stupni 5 hodin (6. ročník) a 4 hodiny týdně (7. - 9. ročník). V rámci celé školní docházky využívají žáci během vyučovacího procesu i učebny informatiky. Učebna matematiky je vybavena interaktivní tabulí eBeam a kabinet matematiky disponuje jedním netbookem. V době realizace výzkumu (prosinec 2010) vyučovalo matematiku celkem pět vyučujících (dva z toho učící zároveň na PedF UK v Praze a jeden nekvalifikovaný). Školu navštěvovalo celkem 517 žáků [15].

Škola každoročně pořádá tzv. oborové dny, během kterých se někteří z žáků mohli setkat s programem GeoGebra (se kterým pracovali pod mým vedením) i mimo "klasické" vyučovací hodiny.

Odpovědi z dotazníků byly zaneseny do tabulky (příloha č. 1), kde byly odpovědi následně podrobněji zkoumány pomocí dílčích metod. Při vyhodnocení dotazníku byl použit program MO Excel 2010.

Obr. 6 Dotazník pro žáky 2. stupně ZŠ

Předpokladem výzkumu bylo, že žáci mají od počítačem podporované výuky (pomocí dynamické geometrie) vysoká očekávání , které předčí reálné možnosti programu. Dalším předpokladem je, že na tento názor bude mít vliv fakt, jestli se žák s programem již ve škole seznámil, či ne.

4.2 Vyhodnocení dotazníků

4.2.1 Otázky č. 1 a č. 2

První dvě otázky "1. Jaká oblast matematiky Ti jde nejlépe?, 2. Jaká oblast matematiky Ti jde nejméně?" slouží zejména k hlubšímu seznámení s charakteristikou vybrané skupiny žáků . Odpovědi na první dvě otázky, které byly jako jediné otevřené, mohly však být ovlivněné aktuální probíranou látkou.

V sedmých třídách 22 z 39 žáků uvedlo, že mají rádi zlomky. Naproti tomu za neoblíbené je označilo pouze 6 z 39 žáků. Za neoblíbenou látku označilo 9 ze 102 žáků slovní úlohy, 2 žáci pak celkově úlohy logické. Naproti tomu jako oblíbenou slovní úlohu neoznačil nikdo. Při otázce na nejoblíbenější látku v šesté třídě odpovědělo 6 z 37 žáků, že jejich nejoblíbenější látkou jsou operace s úhly (měření, sčítání, ...), 6 z 37 žáků tuto látku naopak nemá rádo. Často pak žáci psali, že mají rádi např. sčítání úhlů, ale již nemají rádi jejich odčítání.

Vzhledem k tomu, že s takto podrobnými odpověďmi by se dále pracovalo jen velmi špatně, odpovědi žáků byly zařazeny do skupin - aritmetika a algebra (např. násobení, sčítání, zlomky), geometrie (např. rýsování), vše (i s odpověďmi skoro vše, algebra a geometrie), nic (i s odpověďmi téměř nic, žádná), nevím. Nevyplněné hodnoty nebyly započítány do žádné ze skupin. Pro tyto možnosti je uvedena tabulka 1 a graf 1 absolutních četností k otázkám 1 a 2. Vzhledem k počtu respondentů není uvedena hodnota relativní četnosti, neboť je buď shodná s absolutní četností, nebo se jí velmi blíží.

Tabulka 1

Aritmetika a algebra Geometrie Vše Nic Nevím

Jaká oblast matematiky Ti jde nejlépe? 64 22 7 4 3

Jaká oblast matematiky Ti jde nejméně? 49 35 9 1 6

Graf 1